☛ Le jeu du tarot « africain »

Partie I

1. On sait que le joueur A voit les cartes \(15\) , \(10\) , \(9\) et \(2\) .
   1. On note \(F\) l'événement : « Le joueur A a la carte la plus forte ». On sait qu'il reste alors \(18\) cartes. Parmi ces \(18\) cartes, il y a les cartes de \(16\) à \(21\) et l'excuse qui peuvent être plus fortes que la meilleure carte. Alors \(P(F)=\dfrac{7}{18}\approx 0{,}389\) .
   2. Si le joueur A est le premier à parler, on sait qu'il a environ \(39~\) % de chances de remporter le pli. Il a donc environ \(61~\) % de chances de ne pas gagner, donc il a tout intérêt à annoncer «  \(0\)  ».
   3. Le joueur précédent a annoncé qu'il ne faisait pas le pli. Il voit les cartes \(10\) , \(9\) et \(2\) ainsi que la carte du joueur A. Parmi les \(18\) cartes qu'il ne voit pas, douze sont supérieures à \(10\) donc il a plus d'une chance sur deux de remporter le pli. Or il annonce ne pas faire le pli, donc il y a parmi les cartes qu'il voit une carte supérieure ou égale à \(12\) . Parmi ces cartes, sept sont supérieures ou égales à \(15\) (la carte qu'il a en main) donc le joueur A a intérêt à annoncer qu'il fera le pli.
2. Le joueur A voit \(n - 1\) cartes. On note  \(p\) la valeur de la carte la plus élevée parmi ces cartes. On a \(22 - p\) cartes d'une valeur supérieure à \(p\) (en comptant l'excuse) et le nombre de cartes restantes possibles pour le joueur A est de \(22 - (n - 1) = 23 - n\) . La probabilité que le joueur A remporte le pli est alors \(\dfrac{22-p}{23-n}\) .

Partie II

1. On souhaite savoir quel est le nombre de mains possibles lors du tour à  \(10\) cartes. On doit choisir \(10\) cartes parmi \(40\) , donc le nombre \(N\) est  \(N=\displaystyle \binom{40}{10} = \dfrac{40!}{10!\times 30!}=847\,660\,528\) .
2. On cherche le nombre de mains ne contenant aucun retourneur. Il faut donc choisir les  \(10\) cartes de la main du joueur parmi \(37\) cartes seulement \((40 - 3)\) . Ce nombre de mains est donc \(N_0=\displaystyle\binom{37}{10} = \dfrac{37!}{10!\times 27!} = 348\,330\,136\) . La probabilité pour un joueur de n'avoir aucun retourneur en main est donc de   \(\dfrac{N_0}{N} = \dfrac{348\,330\,136}{847\,660\,528} = \dfrac{203}{494}\approx 0{,}411\) .
3. On cherche le nombre de mains contenant exactement deux retourneurs. Il faut donc choisir deux retourneurs parmi les trois puis choisir le reste des cartes (huit cartes) parmi les trente-sept restantes. Ainsi \(N_2=\displaystyle\binom32\binom{37}{8}=3\times \dfrac{37!}{8!\times 29!}=115\,824\,060\) . La probabilité d'avoir exactement deux retourneurs en main pour un joueur donné est donc de \(\dfrac{N_2}{N} = \dfrac{115\,824\,060}{847\,660\,528} = \dfrac{135}{988}\approx 0{,}137\) .
4. Notons \(X\) la variable aléatoire désignant le nombre de cartes spéciales qu'a en main un joueur lors du tour à \(10\) cartes. Comme il y a quatre joueurs, on a quatre variables aléatoires \(X_1\) , \(X_2\) , \(X_3\) et \(X_4\) suivant la loi de probabilités de \(X\) . On a \(9\) cartes spéciales, et toutes sont réparties entre les quatre joueurs donc \(X_1+X_2+X_3+X_4=9\) . On a, de plus, \(E(X_i)=E(X)\) , pour tout \(i\) entre \(1\) et \(4\) . On a ainsi \(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)=9\) , donc \(4\times E(X) = 9\)  et ainsi \(E(X)=\dfrac94=2{,}25\) . En moyenne, un joueur aura donc \(2{,}25\) cartes spéciales en main.
5. On doit choisir la répartition possible des \(40\) cartes parmi les \(4\) joueurs. Notons \(R\) ce nombre. On doit choisir \(10\) cartes pour le premier joueur, puis  \(10\) cartes pour le deuxième joueur parmi les \(30\) restantes, puis  \(10\) cartes pour le troisième joueur parmi les \(20\) restantes, et enfin les  \(10\) dernières cartes pour le quatrième joueur. Ainsi : \(\begin{array}{rcl}R &= &\displaystyle \binom{40}{10}\times \binom{30}{10}\times \binom{20}{10}\times \binom{10}{10}\\R & =& \dfrac{40!}{10!\times30!}\times \dfrac{30!}{10!\times20!}\times \dfrac{20!}{10!\times10!}\times 1\\R& = &\dfrac{40!}{(10!)^4}\approx 4{,}71\times 10^{21}\\\end{array}\) .
   Il y a ainsi près de \(4{,}71\) milliers de milliards de milliards de répartitions possibles.